4MM106 – požadavky ke zkoušce

Úvod

Algebra

Lineární kombinace vektorů, skalární součin. Lineární závislost a nezávislost vektorů.
Matice, nulová, čtvercová a jednotková matice, hodnost matice, trojúhelníková matice, věta o elementárních řádkových úpravách matice, transponovaná matice a její hodnost.
Soustava lineárních rovnic, obecné a partikulární řešení, Frobeniova podmínka, věta o počtu řešení soustavy. Věta o ekvivalentních soustavách, Gaussova a Jordanova metoda. Homogenní soustava lineárních rovnic a její řešitelnost.
Algebra matic: součet, reálný násobek a součin matic, regulární a singulární matice, inverzní matice, věta o existenci a jednoznačnosti inverzní matice, věta o navzájem inverzních maticích, maticové rovnice, maticový tvar soustavy, věta o řešení soustavy pomocí inverzní matice.
Determinant: definice determinantu 2. a 3. řádu, výpočet determinantů vyšších řádů, věta o rozvoji determinantu, o determinantu transponované matice, o řadových úpravách determinantu, o determinantu trojúhelníkové matice. Věta o determinantu regulární matice. Cramerovo pravidlo. Charakteristická (vlastní) čísla matice.

Konvergence

Zobecněná reálná čísla, nedefinované operace (neurčité výrazy).
Okolí bodu.
Posloupnost, limita posloupnosti, věta o jednoznačnosti limity, o limitě konstantní a vybrané posloupnosti, o limitě monotónní posloupnosti. Věta o limitě aritmetických operací, výpočet limit posloupností.
Spojitost funkce, jednostranná spojitost, vztah mezi jednostrannou a oboustrannou spojitostí. Spojitost elementárních funkcí. Weierstrassova věta. Bolzanova věta.
Limita funkce, jednostranná limita, vztah mezi nimi. Souvislost mezi limitou a spojitostí funkce.
Věta o limitě složené funkce, věta o limitě aritmetických operací, věta o limitě funkce typu a/0, výpočet některých limit funkcí.

Derivace

Derivace funkce v bodě (jen vlastní derivace), geometrická interpretace derivace, derivace zleva a zprava a vztah k oboustranné derivaci. Derivace funkce a její definiční obor.
Věta o vztahu derivace a spojitosti funkce. Věta o derivaci základních funkcí, věta o derivaci operací a superpozice (složené funkce), výpočet derivací elementárních funkcí. Derivace druhého a vyšších řádů.
L’Hospitalovo pravidlo, výpočet limit funkcí. Taylorův polynom.
Extrémy funkce, lokální a absolutní extrém. Nutná podmínka pro lokální extrém, výpočet extrémů spojité funkce v uzavřeném intervalu. Postačující podmínka pro lokální extrém.
Věta o významu 1. derivace pro průběh funkce, stanovení intervalů monotonie a lokálních extrémů funkce.
Věta o významu 2. derivace pro průběh funkce, stanovení intervalů konvexity a konkavity funkce a inflexních bodů.
Průběh funkce.

Integrály

Primitivní funkce, věta o existenci primitivní funkce, množina primitivních funkcí, neurčitý integrál, základní vzorce pro neurčité integrály.
Věta o integraci součtu funkcí a reálného násobku funkce.
Věta o integraci per partes, příklady jejího použití.
Věta o integraci substitucí, výpočet neurčitých integrálů „klasickou“ substitucí, výpočet integrálů f ’/ f.
Newtonův určitý integrál, jeho geometrická interpretace, věta o existenci určitého integrálu, aditivita určitého integrálu. Nevlastní integrál, výpočet nevlastních integrálů.

Funkce dvou proměnných

Reálná funkce dvou reálných proměnných. Definiční obor funkce dvou proměnných a grafické znázornění.
Okolí bodu v rovině. Vnitřní a hraniční body. Množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní.
Elementární funkce dvou proměnných. Věta o spojitosti elementární funkce dvou proměnných. Zobecněná Weierstrassova věta.
Parciální derivace, derivace funkce dvou proměnných v bodě, parciální derivace 2. řádu.
Lokální extrémy funkcí dvou proměnných. Nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných. Postačující podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných.
Vázané extrémy pro funkce dvou proměnných: dosazovací metoda, věta o jakobiánu a její použití, metoda Lagrangeových multiplikátorů (pro dvě proměnné).

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice n-tého řádu. Obecné a partikulární řešení. Počáteční podmínky.
Řešení diferenciálních rovnic přímou integrací.
Lineární diferenciální rovnice 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty (zkrácené).

___________________________________________________________________________

Literatura

Klůfa J., Pasáčková J.: Učebnice matematiky (1) pro studenty VŠE, Praha, Ekopress, 2023