Termíny

18.9.2017 - 15.12.2017 - Výuka v zimním semestru 2017/2018

29.9.2017 - Děkanský den

17.11.2017 - Státní svátek

Více... »

Hledat
Pokročilé hledání




Požadavky k souborné (bakalářské) zkoušce z matematiky

Související stránky

Uchazeč musí zvládnout základní pojmy, vztahy a souvislosti mezi nimi.

Množinově logický jazyk matematiky

  • množinová symbolika (např. prázdná množina, x je prvkem množiny A, x není prvkem množiny A)
  • výroky a logické operace (negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), formule výrokového počtu, tautologie (věta o tautologiích výrokového počtu – části (i), (iii), (iv) a (v)); predikáty (podmínky) s volnou proměnnou a kvantifikátory, věta o taoutologiích predikátového počtu; axióm, definice, věta
  • množinové relace a operace (podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl, kartézský součin, disjunktní množiny)
  • zobrazení (definiční obor a obor hodnot, prosté, na, složené zobrazení, inverzní zobrazení, věta o vlastnostech inverzního zobrazení)
  • číselné množiny (N, N0, Z, Q, R, R*, intervaly, horní závora, dolní závora, suprémum, infimum, maximum, minimum, věta o suprému a infimu, věta o suprému a maximu, věta o infimu a minimu, Archimedova věta, C).

Speciální zobrazení

  • reálné funkce (operace, extrémy vzhledem k množině, suprémum a infimum vzhledem k množině, funkce omezená, shora (resp. zdola) omezená); reálné funkce jedné reálné proměnné (monotonie – nerostoucí, neklesající; ryzí monotonie – rostoucí, klesající; konvexní a konkávní); elementární funkce, definiční obory elementárních funkcí a inverzní funkce k elementárním funkcím)
  • posloupnosti (posloupnost obsažená v množině, reálná posloupnost, vybraná posloupnost, vlasnosti reálných posloupností).

Lineární (vektorové) prostory

  • lineární (vektorový) prostor, příklady (aritmetický vektorový prostor, prostor funkcí)
  • podprostor lineárního prostoru, lineární kombinace vektorů, lineární obal, určující skupina vektorů lineárního prostoru, změny určující skupiny vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze lineárního prostoru, vlastnosti báze, hodnost lineárního prostoru, skalární součin aritmetických vektorů, kolmost vektorů, délka vektoru.

Matice

  • základní pojmy, součet a reálný násobek matice, lineární prostor matic
  • hodnost matice, výpočet hodnosti matice (úprava na trojůhelníkovou matici), transponovaná matice a její hodnost.

Soustavy lineárních rovnic

  • matice soustavy, rozšířená matice soustavy, Frobeniova věta, věta o počtu řešení soustavy, ekvivalentní soustavy, věta o ekvivalentních soustavách a metody řešení soustav (Gaussova, Jordanova), homogenní soustava, obecné řešení homogenní soustavy (další příklad lineárního prostoru), struktura všech řešení nehomogenní soustavy
  • geometrické interpretace, bodově vektorová relace, podprostor euklidovského prostoru a jeho příklady – přímka, rovina, nadrovina v n-rozměrném euklidovském prostoru, geometrická interpretace řešení soustavy, obecný zápis podprostoru En, věta o obecné rovnici nadroviny, vzdálenost bodu, poloprostor, konvexní množina, linaární kombinace bodů, konvexní polyedr.

Maticová algebra

  • čtvercová matice, jednotková, regulární a singulární matice, součin matic a jeho vlastnosti (komutativita, asociativita, distributivita); inverzní matice – existence a jednoznačnost, inverze součinu matic, věta o navzájem inverzních maticích, definice symetrické matice, řešení maticových rovnic, maticový zápis soustavy a věta o maticovém řešení soustavy, definice lineární transformace, definice diagonální matice.

Determinanty a kvadratické formy

  • definice determinantu, rozvoj determinantu, řadové úpravy determinantu, věta o determinantu regulární matice, determinant inverzní matice
  • užití determinantů k řešení soustav (Cramerovo pravidlo), charakteristická čísla matice
  • kvadratické formy a jejich dělení, kanonický tvar, Sylvestrova věta.

Konvergence (limita a spojitost)

  • limita reálné posloupnosti a její vlastnosti (jednoznačnost limity, limita konstantní posloupnosti, limita vybrané posloupnosti, limita operací, limita monotónní posloupnosti, limita sevřené posloupnosti)
  • spojitost funkce jedné proměnné a její vlastnosti (spojitost složené funkce, spojitost operací, spojitost elementárních funkcí, Bolzanova věta, Weierstrassova věta)
  • limita funkce jedné proměnné (oboustranná a jednostranné) a její vlastnosti (spojitost a limita, jednoznačnost limity, limita složené funkce, limita operací, limita sevřené funkce,limita nulové funkce, limita funkce a posloupnosti).

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

  • derivace funkce, geometrický význam derivace, vztah spojitosti a vlastní derivace, jednostranné derivace; věta o derivaci aritmetických operací, o derivaci složené funkce a inverzní funkce, diferenciál a rovnice tečny; extrém funkce vzhledem k množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro lokální extrém funkce, konvexita a konkavita funkce, inflexe; derivace vyšších řádů
  • Lagrangeova věta o střední hodnotě, věty o významu první a druhé derivace pro průběh funkce, l’Hospitalovo pravidlo; stanovení průběhu funkce; stanovení extrémů spojité funkce v uzavřeném a otevřeném intervalu
  • Taylorův polynom a Taylorův rozvoj, Taylorova věta o Lagrangeově zbytku.

Integrály

  • primitivní funkce, existenční věta pro primitivní funkci; věta o množině primitivních funkcí
  • neurčitý integrál, věta o linearitě neurčitého integrálu, věty o integraci per partes a pomocí substituce; integrace racionálních (lomených) funkcí
  • Riemannův určitý integrál: dělení intervalu, horní a dolní integrální součet, jeho geometrický význam; věta o souvislosti primitivní funkce a Riemannova integrálu, Newton-Leibnizova formule, věta o linearitě a aditivitě určitého integrálu
  • nevlastní integrál, konvergence a divergence nevlastního integrálu; funkce gama a beta a vztah mezi nimi.

Nekonečné řady

  • nekonečná řada a její součet, konvergence a divergence řad, geometrická řada a její součet, věta o součtu a násobku řady, o zbytku řady, nutná podmínka konvergence
  • řady s nezáponými členy, kritéria konvergence – podílové, odmocninové, integrální, srovnávací (minoranta a majoranta řady); alternující řady (Leibnizovo kritérium)
  • absolutní konvergence řad, věta o absolutní konvergenci
  • mocninné řady, obor konvergence a absolutní konvergence, poloměr a interval konvergence, věta o poloměru konvergence, věta o integraci a derivaci mocninné řady člen po členu, Taylorova řada.

Funkce více proměnných

  • okolí bodu v En, konvergence v En; věta o limitě podle souřadnic, o konvergenci podle vzdálenosti
  • Množiny v Er: vnitřní a hraniční bod množiny, vnitřek a hranice množiny, otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní množina v Er a jejich vlastnosti
  • zobrazení typu (r, s), lineární zobrazení, funkce r proměnných, lineární a kvadratická forma, spojitost a limita zobrazení typu (r, s)
  • funkce r proměnných: elementární funkce a její spojitost, zúžení funkce a jeho spojitost, parciální derivace a derivace funkce, hladká funkce, věta o přírůstku funkce, totální diferenciál, tečná nadrovina, věta o spojitosti hladké funkce
  • definice implicitně definované funkce a věta o její existenci, zobrazení typu (1, r)
  • derivace, funkce hladké a diferenciály vyšších řádů
  • globální, lokální, vázané extrémy funkcí více proměnných: nutná podmínka pro lokální extrém, zobecněná Weierstrassova věta, věta o extrémech lineární funkce na konvexním polyedru, postačující podmínka pro lokální extrém, sedlo, nutná podmínka pro vázaný extrém, výpočet lokálních extrémů: výpočet vázaných extrémů dosazováním, pomocí jakobiánu, pomocí Lagrangeových multiplikátorů, výpočet globálních extrémů spojité funkce na kompaktní množině s hranicí po částech hladkou.

Diferenciální rovnice

  • diferenciální rovnice n-tého řádu a jejich řešení (partikulární, obecné), počáteční podmínky
  • diferenciální rovnice 1. řádu: rovnice řešitelné metodou separace proměnných (existence a jednoznačnost řešení), lineární diferenciální rovnice 1. řádu: metoda variace konstanty, existence a jednoznačnost řešení
  • lineární diferenciální rovnice n-tého řádu: věta o existenci a jednoznačnosti řešení, fundamentální systém řešení, wronskián, věta o lineární nezávislosti funkcí
  • lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty: řešení homogenní (zkrácené) rovnice v případě jednoduchých reálných, vícenásobných reálných a imaginárních kořenů příslušné charakteristické rovnice, řešení nehomogenní (nezkrácené) rovnice pomocí odhadu partikulárního řešení podle pravé strany.

Diferenční rovnice

  • diference posloupnosti, věta o linearitě diference, diference k-tého řádu
  • diferenční rovnice 1. a k-tého řádu, obecné a partikulární řešení, počáteční podmínky, existenční věta; lineární diferenční rovnice k-tého řádu zkrácená a nezkrácená, věta o množině řešení zkrácené a nezkrácené rovnice, diskrétní wronskián, věta o lineární nezávislosti posloupností, lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty: řešení na základě kořenů příslušné charakteristické rovnice a pomocí odhadu partikulárního řešení, jejich užití (rekurentní vzorec pro posloupnost, součet nekonečné řady).

Souborná (bakalářská) zkouška z metematiky se skládá z části písemné a ústní. Ústní část zkoušky probíhá do týdne ode dne konání písemné části zkoušky.

Ústní část zkoušky je možné absolvovat pouze v případě, že písemná část byla alespoň z 50% správná; v opačném případě je uchazeč hodnocen známkou „nevyhověl„.

Základní literatura

Jan Coufal, Jindřich Klůfa : Matematika 1, ISBN 80-86119-76-9, Ekopress, Praha, 2003.

Miloš Kaňka, Jiří Henzler : Matematika 2, ISBN 80-86119-31-9, Ekopress, Praha, 2003.